Формула коливання струни має в собі дві компоненти довжини і швидкості:

а). Поступальна компонента для головної довжини поперечної хвилі коливань має вигляд – 1/2 L. Поперечні коливання виникають у обмеженому просторі які обмежують опори або вільна частина твердого тіла, що коливається. В такому разі зворотний хід напівхвилі, або чверть хвилі лунає дзеркально щодо першої частини і утворює, так звану «хвилю, що стоїть». Вона рухається, але місце її залишається, по всяк час, у одному місці. Феномен «хвилі, що стоїть», притаманний тільки для коливальної хвилі.

б). параболічна компонента для всіх мод коливань (F/рА)², швидкість – прискорення, має квадратичний вираз , тому для обчислення частоти коливань використовуємо вираз, що під коренем квадратним .

Для визначення частот мод коливань зручніше користуватись розподілом струни на рівні частини. Спектральний склад коливань природний, він урівноважується за принципом найбільшої активності мод, що виникають у даному місці збудження. В такому разі відносини частин вказують музичний інтервал, , що ісував за Піфагора, а за цим відношенням неважко визначити частоту мод.

За законами механіки пружність має лінійний закон. Але це для поздовжніх напрямків впливу.

Поперечні зусилля мають параболічний характер і швидкість повернення до нульового стану мають змінну, залежно від місця обурення, що ми розглядаємо. Усі моди коливань прилягають до опор, отже, найменші моди – високочастотні гармоніки, збираються біля опор – найбільшої жорсткості.

Протиборство протилежних рівних сил – народжують коливання. Вираз під коренем квадратним – сила поділена на масу – є модуль коливання для визначення всіх мод коливання струни.

Дві ознаки – знак радикалу – математична ознака нелінійності функції, та інерція – прискорення-уповільнення руху в протилежних напрямках – фізична ознака, що коливання струни являють параболічну функцію.

Суперечка про струну триває і триватиме унаслідок інтелектуальних властивостей людини – упертості пам'яті вивченого, але не зрозумілого. Не хочеться йому бути «розумним», як записаний він у класифікації живих істот на Землі, а хочеться сяяти пам'яттю, бути ерудитом – що дуже багато запам'ятав з написаного визнаними ґеніями у науковому світі! "Дилетант" став ганебним прізвиськом аматора, але в усі віки для народу безкорислива любов була шляхетною ознакою дослідника. До речі, Марен Мерсенн був богословом, а як аматор, своїми зв'язками з фізиками і математиками, являв, ще не існуючу Паризьку Академію Наук.

Проблема в тім, що усі рухи, а їх тільки два різновиди, що існують в офіційній механіці, розглядаються не з позиції сил – фізичного руху, а з позиції траєкторій – поздовжнього математичного феномену! Математика – інструмент – допоміжний засіб(!), має прагнути до точності і раціональності рішення заданої функції, але зовсім не для визначення фізичного явища – це справа фізиків!

Всякий рух, його початок, напрямок і траєкторія повинні починатися з виявлення елементарних фізичних зусиль, що його спричинили.

* * *

Процес коливання походить від деформації, зміни напруженості і форми в усіх точках конструкції. Отже, повний процес коливання відбувається з різними швидкостями залежно від зусиль, їх напрямів, звукопровідності, маси, пружності і здатності до згинних коливань, синхронності і часом затримки мас. Ці, далеко не усі якості, говорять про наявність різних хвиль у повному коливанні системи. При цьому хвилі коливання, при своєму акустичному поширенні, перетворюються в єдину хвилю і змінюють складну форму поперечного коливання на просту поздовжню хвилю.

Справжні коливання – результат звільнення від деформацій. Для виникнення коливань необхідна сила, що повертає, без якої коливання не можливі. Позаземні коливання виникають у системах небесних тіл. Сила, що повертає у поза Земних коливаннях виникає у результаті деформації міжзоряного простору ґравітаційними силами небесних тіл та їх рухом. Це відцентрові та доцентрові сили. На відміну від поздовжніх хвиль, які можуть рухатися до нескінченності, коливання виникають тільки у обмеженому просторі.

Односторонній рух хвилі тільки в менший край струни, суперечить правилу Гюйґенса та створенню головного коливання струни – основного тону, коли йдеться про асиметричне збудження.

* * *

Доказ

- Два поздовжніх зусилля синхронізації, які утворюють дві хвилі згущення-розрідження, що дорівнють звукопровідністі матеріалу і довжині головного напівперіоду поперечного коливання;

- утворення двох хвиль, що стоять у місці збудження, а також усіх хвиль, що стоять – мод коливань;

- утворення двох згинних, що біжать хвиль від опор до місця збудження;

- утворення двох крутильно-поперечних хвиль від опор до місця збудження.

Дві синхронні хвилі спільно з модами коливань та двох крутильно-поперечних хвиль, що утворилися, надають повне коливання струни.

При цьому кожна хвиля, від опор до місця збудження, утворює 1/4 хвилі – моди коливань. (Мода – змінна, хвиля, що утворена різними складовими головного коливання струни місцем обурення).

Затухання.

Якщо місце відхилення у центрі струни – рівновага у поздовжньому та поперечному напрямку осей – виникає основний тон, що поступово затухає від дії опору тертя у матеріалі та опору руху повітря.

У разі відхилення не у центрі струни – виникає розбаланс мас, що по обох відтинках струни. Моди коливань, що створив цей розбаланс, наповнюють коливання струни. Розбаланс прагне до рівноваги із швидкістю маси струни. При цьому поступово зникають гармоніки до повного балансу системи.

Утворення параболічної функції.

Струна у поздовжньому напрямку має лінійний натяг, тому поступальна хвиля синхронізації має постійну, лінійну швидкість. Поперечний опір струни, який збільшується з наближенням до опор, утворює параболічну функцію. Тому швидкість двох головних згинних хвиль, що біжать, мають змінні швидкості залежно від зміни опору у різних місцях.

Хвилі що стоять, мають швидкість відповідно опору струни у місцях їх утворення. Синхронізуючий оббіг головними хвилями мод коливань – хвиль що стоять, узгоджується фазами коливань як головних хвиль, так і їх модами. Можна спостерігати на рисунках, що за один період руху кожної з головних хвиль, утворюється однакова кількість мод. Світлина показує, що коротші моди засвітили поле свого коливального руху більше, ніж довгі моди. Це говорить про різну кількість коливань, відносно довжини та відстаней від опор, та співпадання руху головної хвилі з модами – хвилями, що стоять. Це розуміння видно на світлині утворення коливання струни.

 

* * *

Рух звільнення.

Для нової теорії все повинно починатися з початку, де загубилася нитка теорії. Почнемо з руху!

Існує думка: рух хвилі починається від місця обурення. Це вірно для поступальної хвилі, що являє просту поздовжню, поодиноку хвилю. Для коливальної хвилі, що являє комплекс синхронних хвиль, визначення такого розуміння залежить від цілого ряду причин: Найпростіша коливальна система –– струна, має хвилі, що виникають від поштовху молотка фортепіано. У такому разі одна з хвиль, поступальна, починається від місця збудження. Інші хвилі, що виникають від реакції на поштовх, починаються від місця, що зреагувало на поштовх. Це хвиля відхилення струни, де є розтягнення і зміщення мас та їх роз'єднання. Це реакція опор у напрямку відхилення струни відносно основи, на якій вони закріплені. Якщо обурення виникає від поштовху основи, то хвиля коливання починається від опор, що торкаються струни.

У разі поперечного руху, який характеризується пружною деформацією, особливості руху набувають певної залежності. Це статичний стани тіла, опори, місця гальмування і обурення та інші особливості розгляду виникнення зусиль, що провокують виникнення рухів і коливань.

У ДОВІДНИКУ з ФІЗИКИ Горста Кухлінґа, на початку розділу «КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ», 19. "Механічні коливання", записані абсолютно справедливі слова, які, на жаль, більше не підтверджуються і не використовуються.

«Будь-які коливання являють собою рух зі змінним прискоренням»;

Почнемо доказ саме з цього визначення. Для зручності розділимо його по пунктах; якщо умова:

– рух зі змінним прискоренням, не дотримується – чи коливання це?

– відхилення, швидкість і прискорення . . . (якщо умови першого пункту не дотримуються – інші пункти, що витікають з першого не дотримуються).

– Для будь-яких коливань характерна періодичність, тобто рух повторюється після закінчення часу Т₁, що зветься тривалістю, чи періодом коливання. . . (рух, що заснований на рівномірній швидкості має усі стабільні параметри, в ньому немає жодної змінної ознаки). Ці умови не дотримуються – це не є коливання!

У земних умовах нехтування фізикою і будівництво наддовгих мостів провокують самозбудження коливальних конструкцій, яких такими не вважають і не підозрюють. Тому виникають проблеми саморуйнування споруд. Багато прикладів у США і зараз в Росії у Волгограді міст через Волгу, де домінуючі вітри з північного сходу збуджують коливання мосту-струни. Доброї поради, як заглушити недорого коливання, не прийняли, але ж це народні гроші!

Усяка хвиля є траєкторія руху.

Хвилі мають два різновиди : поздовжні і поперечні хвилі. Є багато причин виникнення хвиль:

а) Поздовжні поштовхи та поздовжні рухи матеріальних тіл або енерґій для поздовжніх хвиль :
найпростіша не модульована поздовжня хвиля має форму прямої лінії, це поштовх імпульсу та його рух; у разі модуляції ґравітацією Землі, при розподілі рідини та газу плівкою розподілу та перпендікулярному, або під кутом наданням поштовху імпульсом – дійсна лінійна хвиля випереджує хвилю коливання рідини, що, за браком інерційного часу, рухається повільно; таким чином виникають дві незалежні хвилі – звичайна поздовжня, звукопродона хвиля, та коливально-ґравітаційна водяна хвиля.
б) поперечні деформації та виникнення сил, що повертають до нормального, статичного стану – э коливальні хвилі.

Коливання, що затухають з дедалі меншою амплітудою Ym. Без доповнення енергії будь-які коливання згасають.

Найбільш важливі величини, що характеризують коливання, а також хвилі, які ототожнюють ці поняття:

Відхилення y = f(t)– миттєве переміщення щодо положення рівноваги – (тільки для коливання).

Амплітуда Ym. – максимальне відхилення, розмах коливань – (тільки для коливання).

Період Т = 1/f– тривалість повного коливання – (тільки для коливання)

Частота f = 1/Т– число коливань в одиницю часу – (тільки для коливання).

Час t – відраховується від моменту початку коливання або руху.

Далі тригонометричні визначення, кутова частота, фаза і початкова фаза, що відносяться до утвореної обертанням поздовжньої згущення-розрідження хвилі, що біжить. Прямій, що має хвилеподібну форму ґрафіку вмісту, але аж ніяк не форми хвилі! Якщо незалежно подумати, то синусоїдальної, (хвилеподібної) хвилі в природі не існує! Є хвиля згущення-розрідження з синусоїдальною залежністю ґрафіку вмісту парметру, але форма її – пряма! Реальна фізична струна – є гнучкою, пружною ниткою, що закріплена між двома жорсткими опорами. Вона являє собою різні сили що виникають при деформації і провокують складні коливання з багатьох самостійних хвиль. Коливання – є процес звільнення від навантажень і вказівка на закономірність усіх рухів і зусиль, які спричинила деформація.

* * *

1. Детальні умови виникнення дійсного коливального процесу.

Реальна фізична струна – є натягнута гнучка нитка, що закріплена між двома жорсткими опорами.

Віртуальна невагома безкінечна струна (WAVES BERKLEY PHYSICS COURSE volume 3 Frank S. GRAWFORD, Jr. БКФ том 3. ВОЛНЫ стор. 68) у науковому спостереженні розглядатися не може з важливих причин: відсутність маси, відсутність опор, неможливість деформувати струну пластичним способом за допомогою шаблону і чекати від фантастичної, невагомої струни роботи інерції маси задля повторення такого коливання.

1.1. Поздовжні сили в струні.

 Напрямки поздовжніх пружних сил обумовлені звукопровідністю матеріалу. Ці сили мають напрямок дії уздовж струни між точок закріплення і є лінійними пружними силами. (Зверніть увагу, лінійність поздовжніх сил в струні зберігається лише у   поздовжньому напрямку.  Поздовжні й зсув маси нескінченно малий, тому звукопровідність набагато більша від швидкості коливань. Поперечні сили не лінійні.)

З цієї причини поздовжні хвилі Гюйґенса, хвилі синхронізації, мають лінійну швидкість. Поперечні сили, а від того і коливання, мають змінну швидкість, як вздовж, та і поперек, залежно від зусиль, що створені в струні.

При збудженні струни від точки деформації, згідно принципу Гюйґенса, на всі боки розповсюджуються поздовжні хвилі звільнення. В даному випадку розтягування струни прагне повернутися у початкове натягнення в напрямку обох опор, що створили це натягнення. Опори є найжорсткішими в коливальній системі.

Це перше доведення про наявність двох поздовжніх синхронних хвиль у коливанні струни.

1.2. Поперечні пружні сили.

1). Поперечні пружні сили обумовлені зусиллям Р, що відхиляє струну на якусь відстань від поздовжньої осі за напрямками їх прикладання.  

2). Поперечні сили концентруються на опорах і поступово, за законом параболи, зменшуються в середині струни. Поперечні сили перпендикулярні до струни.

3). Якщо між точок закріплення існують тимчасові опори, характер розподілу сил змінюється, згідно наданому принципу, що надає деформатору властивостей опори (пункт 2).

1.3. Опори – місця закріплення або торкання струни, є безмежно жорсткими, відносно струни. В такому разі вони мають найбільший опір пручання струни, та найбільшу віддачу сили відлуння у коливальному процесі.

Зсув f прямо пропорційний до сили Р, що його викликав, добутку довжини балки або струни l  і зворотно пропорційний поперечному перерізу балки bh², або поперечному перетину струни 0,785 d³ ;

Де: b – ширина балки; h – висота балки; d – діаметр поперечному перерізу струни; l – довжина струни або балки.

f = Р • l / bh²; – для балки.

f = Р • l / 0,785 d³; – для струни.

 

• Для визначення зусиль, що потрібні для зсуву струни на рівну відстань, потрібно визначити місце прикладання сили Р відносно місця розподілу струни l і відносно протилежних опор. Так в середині струни реакції опор становлять Р/2. При іншому розподілі виникають дві різні сили для одного зсуву струни – менша довжина прагне до нескінченості сил, а більша довжина прагне до 0.

Рис. 1.

• Припустимо, що розділили струну на 5 частин і надали силу Р на довжину у співвідношенні 3/2 ; Зусилля розділились на два відтинки – 3 та 2 частини. В свою чергу таке зусилля отримали й реакції опор. На довшу частину припала менша сила та на коротшу частину прийшла більша сила за правилом важеля. За правилом важеля отримали свою реакцію й опори. Для зрушення опори від довгої частини потрібно менше зусилля чим для зрушення опори від короткої частини. Така закономірність реакції опор і важеля. Чим довший важіль, тим легше зрушити тяжкий камінь.

Зусилля для меншої частини струни – РВ, 5/2 = 2,5,, для більшої частини струни – АР, зусилля становить 5/3 = 1.6666.

• Зусилля, що прикладене в одній точці струни, надає дві сили повернення деформації до первинного стану.  Зусилля Р розкладаються на зусилля Р₁ і  Р₂, і створюють рух двох зустрічних хвиль звільнення від деформації напрямком від опор, як найбільших сил у системі, за правилом важеля.

 Р₁= f • bh²/ l • 2,5;             Р₁= f • 0,785 d³/ l • 2,5;  

        Р₂ = f • bh²/ l • 1,6(6)…;      Р₂ = f • 0,785 d³/ l • 1,6(6)…;

• Поперечне відхилення струни спричинює додаткове поздовжне натягнення. Орієнтація зсуву у просторі значення не має, оскільки натягнення струни компенсує ґравітацію Землі. Сила, що відхиляє, передається сторонньою тимчасовою опорою, що приймає усі властивості опори. У точці відхилення утворюється максимальна пружність, мінімальні пружності пересуваються на середини обох відрізків, що утворені відхиленням.

• Опір струни для поперечної деформації нерівномірний: поперечна деформація створює кути нахилу щодо точок фіксації – опор. У реальних умовах кут нахилу деформації дуже малий і його важко визначити. Кращим способом є вимір довжини. Доречі, для визначень поперечних коливань не потрібно користуватись декартовими координатами, якими користуються для визначення хвиль, що біжать. Зручніше користуватись виглядами навантажень і епюрами , як у Опорі Матеріалів, де ордината "х" – означає і час, і довжину, і напрямок руху.

• Для ґрафічного дослідження наглядніше користуватись кутами відхилення: – більший кут в коротшій частині і менший кут у більшій частині струни. Кути обернено пропорційні довжинам відрізків щодо точки деформації.

1.7. Маса.

• Другий компонент коливань струни – маса. Головна властивість маси – інертність, прагнення зберігати стан спокою або руху. При вимушеному переході із стану, де його утримує пружна сила деформації, маса рухається із змінною швидкістю. У дійсному коливальному русі маса має змінну швидкість. У амплітудних значеннях, де маса відала усю енерґію, натомість пружність отримала максимум, відбувається зміна напрямку руху . К омпонент маса опиняється у стані спокою. Досягнувши нейтрального стану струни – компонент маса набирає максимальну швидкість. В той же час, компонент пружність струни набуває мінімальної напруженості і нульової швидкості.

• У спокійному стані – максимум маси міститься в середині струни, а мінімуми на опорах.

• Поперечне відхилення струни жорстким тілом у точці відхилення утворює тимчасову опору. Струна розділяється на дві частини – сторони трикутника. У точці відхилення, як і у всякій опорі, утворюється жорсткість, маса пересувається у середини відрізків, що утворилися.

• Компоненти маса і пружність у пружних системах коливання є антагоністами в усіх динамічних проявляннях їхньої роботи і компенсують енерґію одна одній . Тому коливальна енерґія постійна.

1.8. Подвійність властивостей струни – наявність компонентів пружності і маси в одному тілі, що постійно змінюються і мають протилежний знак і напрямок дії, обумовлюють коливальну здатність системи. • Натягнення струни компенсує гравітацію Землі. Ці властивості, як і у всякої пружної коливальної системи, не дозволяють розглядати її коливання у вигляді окремих вантажів та пружин. Це дуже не вдала імітація, що унеможливлює вільні коливання. Коливальна, поздовжно-поперечна хвиля, в умовах навмисно заданих пружин та вантажів, не має можливості природно рухатись.

Пружне коливання, це рух пружного компоненту, що перетинає нульовий стан системи  у час, коли компонент маса набуває максимальної енерґії і швидкості, а енерґія пружності набуває "0" .

Енерґія коливання постійна, у наслідок протилежної постійної зміни потенційної і кінетичної енерґії у коливальному, динамічному режимі суцільного тіла .

Жоден із компонентів сили, що повертає не здатний окремо створити коливання.

 

3. Періоди механічних коливальних хвиль.

Механічні хвилі–коливання, або моди коливань, мають згорнутий вигляд – рух хвилі до опори і відлуння її триває у зворотному напрямку з протилежним знаком. Хвилі–коливання, на відміну від інших хвиль, мають визначену довжину і не залежать від числа "пі". Вони залежать від поздовжніх параметрів струни, мембрани, балки або поздовжньої конструкції, у яких є параболічна залежність.

Швидкість їх, а від того й частота, залежить у якому місці вони містяться. Моди коливань утворюються біля опор, тому всі гармоніки-моди, одним своїм краєм торкаються опор!

Впродовж струни вони можуть утворювати різноманітні періоди, в залежності від точок обурення відносно опор.

Найпростіший вигляд має період збудженням в середині струни, де дві хвилі від двох опор, синхронно починають свій рух від опор до точки обурення.

Від точки обурення коливальний процес починається у балки, що перебуває у вільному польоті.

 

3.1. Груповий період : Загальний рух періодів двох зустрічних хвиль, що синхронно завершу є ться у точці свого початку.

• У груповому періоді може бути нескінченне число періодів різної активності залежно від відношення довжин відрізків, на які розділяє струну точка зсуву. Між активними точками є – 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...1/n , це компоненти Фур'е, є менш активні точки – 3/2, 4/3, 5/4... це гармонійні музичні інтервали натурального звукоряду і звичайні гармоніки-моди коливань. Між активними точками є пасивні, які в десяткових дробах нескінченні, ірраціональні числа.

• Абсолютна синхронність хвиль – один груповий період, коли обидві хвилі синхронно починають і завершують свій рух. Найактивніші хвилі, коли точка зсуву дорівнює 1/2 довжини струни. Це дві однакові зустрічні хвилі.

• Якщо точка зсуву не дорівнює 1/2 довжини струни, такі дві хвилі будуть відносно синхронними.

• Відносна синхронність – синхронний початок періодів обох хвиль, а завершення групового періоду – через 2, 3, . . . n періодів.

3.2.  Якщо точка відхилення струни може активізувати асинхронні хвилі, можна досягти мінімального виникнення поперечних хвиль-вібрацій.

• За другим законом Томаса Юнга про коливання: в місці гальмування вібруючої струни виникає вузол стоячих хвиль. Що означає можливість привести синхронність хвиль, коли n прагне безмежності. Де вузол встановлюють у місці коли рух хвилі не досягає місця обурення. .

• Цього можна досягти комбінацією розміщення гальмуючих і демпфуючих опор, що будуть в певних співвідношеннях із струною і місцем їх установки.

• Для наочності активності синхронних хвиль можна вилучити натуральні флажолети легким дотиком пальця до струни ґітари, коли їх місце знаходження на струні дорівнює L/2, L/3... L/n – компоненти Фур'е, де L – довжина струни. Звук можна вилучити тільки в цих місцях, в решті місць звук не вилучається.

* * *

4. Поперечні хвилі і їх різновиди.

Вільна коливальна система:

Вільна коливальна система є система, що здатна коливатися в умовах відсутності ґравітації. В такій системі, як в одному цілому, присутні дві сили, що повертають. Ці сили постійно змінюють свої параметри залежно від фази процесу коливання. Таким чином виникають вільні (природні) коливання.

Жорсткість споруд – фундація міцності та причина руйнації від вібрацій. Вільне коливання містить в собі чотири пари компонентів синхронних хвиль.

Вільна коливальна система є система, що здатна коливатися в умовах відсутності ґравітації. В такій системі, як в одному цілому, присутні дві сили, що повертають. Ці сили постійно змінюють свої параметри залежно від фази процесу коливання. Таким чином виникають вільні (природні) коливання.

Жорсткість споруд – фундація міцності та причина руйнації від вібрацій. Вільне коливання містить в собі чотири пари компонентів синхронних хвиль.

4.1. Всі чотири пари компонентів цих хвиль взаємозв'язані і впливають одна на одну:

а) поздовжна хвиля згущування-розрідження напрямком від місця збудження до опор:

рух лінійний в поздовжних напрямках, виконує функцію імпульсу синхронізації, який починає рух хвиль в струні після усунення деформації;

б) головна поздовжно-згинна поперечна хвиля, що біжить від опор до місця збудження:

утворюється деформацією пружного зсуву струни, що утворює дві синхронні хвилі, які рухаються назустріч до місця збудження; рух цих хвиль оббігають моди коливань; головні хвилі їх створюють та взаємно синхронізують;

в) поперечна хвиля, що стоїть:

виникає в результаті поперечної пружної деформації та інертності маси, дійсна хвиля, що стоїть, тому що шлях її завжди збігається при кожному русі періоду в одному і тому ж місці; неґативна частина, початок і кінець, відповідають позитивній частини, частота коливань дорівнює, або більше в ціле число раз частинИ, де вона знаходиться, її пружності, маси та швидкості руху;

г) крутильна хвиля:

рух її залежить від кута ацентрічності деформуючої сили і діє як спотворення основного коливання поздовжно-поперечної хвилі, що біжить. У складних конструкціях, (мостах) виконує значну руйнівну функцію.

а) поздовжна хвиля згущування-розрідження напрямком від місця збудження до опор:

рух лінійний в поздовжних напрямках, виконує функцію імпульсу синхронізації, який починає рух хвиль в струні після усунення деформації;

б) головна поздовжно-згинна поперечна хвиля, що біжить від опор до місця збудження:

утворюється деформацією пружного зсуву струни, що утворює дві синхронні хвилі, які рухаються назустріч до місця збудження; рух цих хвиль оббігають моди коливань; головні хвилі їх створюють та взаємно синхронізують;

в) поперечна хвиля, що стоїть:

виникає в результаті поперечної пружної деформації та інертності маси, дійсна хвиля, що стоїть, тому що шлях її завжди збігається при кожному русі періоду в одному і тому ж місці; неґативна частина, початок і кінець, відповідають позитивній частини, частота коливань дорівнює, або більше в ціле число раз частинИ, де вона знаходиться, її пружності, маси та швидкості руху;

г) крутильна хвиля:

рух її залежить від кута ацентрічності деформуючої сили і діє як спотворення основного коливання поздовжно-поперечної хвилі, що біжить. У складних конструкціях, (мостах) виконує значну руйнівну функцію.

(Коливання маятника, що закріплений у вільній осі та позбавлений поперечної пружної сили, яку імітує сила ґравітації Землі – не є дійсне коливання.)

5. Робота струни.

Струна є сталевим дротом або ниткою, що натягнута між двома жорсткими опорами. Згідно Теорії Опору матеріалів – вона схожа до конструкції балки, що закріплена на двох жорстких опорах. Внаслідок розглядання балки, що деформується зосередженою силою – лише осьовою лінією бруса – приймаємо струну ідентичній щодо балки. Всі міркування однакові як для балки, так і для струни. Натягнення струни відповідають пружності балки.

5.1. При пружній деформації струни виникає поперечний зсув в точці прикладання сили Р . (Рис.1.)

Рис. 1.

• При пружній деформації струни виникає додаткове натягнення струни, що спрямоване прямолінійно до обох опор А і В. На опорах виникає момент, що крутить, який, за правилом важеля, прагне повернути струну в початковий стан.

• Схема пружної деформації являє трикутник з опорами А і В і вершиною – точка зсуву F .

• Сторони цього трикутника є довжини і сила натягнення струни щодо місця деформації. Ці сили обернено пропорційні довжинам сторін відповідно правилу важеля, де моментами сил є опори відносно точки зсуву F.

• Кути, що належать до вершини F, з якої опущений перпендикуляр до сили Р, – FР, пропорційні довжинам сторін трикутника та зворотно пропорційні поперечним силам. Чим більша сторона і більший кут – тим менше поперечне зусилля в струні.

• Максимальні зусилля опору деформації прийняли на себе опори струни: менше зусилля в опорі А, як довшої сторони трикутника; більше зусилля в опорі В, як коротшої сторони.

• Деформація у місці прикладання сили Р має дві компоненти – АF та ВF, які пропорційні площам трикутників, а поперечні зусилля зворотно пропорційні квадратам висоти перпендикуляру від опор А і В вздовж ліній щодо місця зсуву F і являють параболу.

• Ці дві компоненти АF та ВF зумовлюють дві 1/4 хвилі від опор А і В, що формують дві незалежні хвилі, довжини яких зберігаються на всьому шляху їх руху – головні синхронні зустрічні хвилі повернення струни до початкового стану.

• Деформація в місці прикладання сили Р відповідє сторонам і кутам при вершині F.

• При пружному зсуві струни в точці F жорстким тілом, виникає тимчасова опора.

5.2. Розподіл сил вздовж струни до початку виникнення коливань:

• У місці деформації струни F – утворюється "тимчасова опора" – тіло, що перпендикулярно зміщує струну. "Тимчасова опора" переймає на себе усі властивості дії на струну, її жорсткість, масу та затримки у часі до припинення її дії. М'яка струна, у місці зсуву жорстким тілом, перетворюється на жорстку, як оперта на опору. Максимум маси, що був по середині струни, розсунувся по двох сторонах, що виникли. Статичний стан коливальної системи опинився у зворотному стані. Це перехідний процес збудження. Він існує до зняття тимчасової опори і початку коливального процесу.

5.3. Перехідний процес руху струни із стану опори (деформації) у вільний стан.

• Усуваємо деформацію F. Першим починає рух поздовжній пружний компонент натягу струни з початковою швидкістю, що дорівнює звукопровідності матеріалу струни. Це виникла поздовжня хвиля, що біжить. Вона створила синхронізуючий поштовх в опорах.

• У той же час рух: точка зсуву, як абсолютно жорстка на початку руху, миттєво, з максимальною швидкістю прогинає струну. Компоненти мас, які рухаються назустріч вздовж струни для об'єднання в точці зсуву, за інерцією затримують рух. Форма хвилі набуває закругленого, М – схожого вигляду. Такий рух триває протягом напівперіоду до часу об'єднання мас в місці обурення.

То є "атака звуку", який супроводжує початок звучання щипкового струнного музичного інструменту.

• Перехідний процес минув. Компоненти пружність і маса відновили нормальний стан уздовж струни. Струна набуває нульового стану досягнувши максимальної швидкості компонентом маси, коли компонент пружність повністю витратив потенційну енергію.

5.4. У момент звільнення коли перехідний процес минув.  Другий напівперіод (5.3.).

• Рух компоненту маси (кінетична енергія) захоплює компонент пружність і рухається з ним у негативному напрямку. При передачі кінетичної енерґії компоненту пружність, швидкість компоненту маси приходить до нуля. Утворилася 3/4 періоду руху хвилі звільнення і негативне амплітудне значення.

• Компонент маса витратив усю кінетичну енерґію і зупиняється, але заряджений потенційною енерґією компонент пружність, примушує компонент масу повернутись до напрямку нульового стану. Струна, із змінним прискоренням, завершує повний період 4/4 коливання струни.

• Наступні передачі енерґії відбуваються у напрямках рухів:

від амплітудного значення до нейтралі – нарощування кінетичної енерґії компонентом маси та ослаблення натягнення струни компонентом потенційної енерґії;

від нейтралі до амплітудного значення – нарощування натягнення струни потенційною енерґією компонентом пружність та зменшення кінетичної енерґії, швидкості руху компонентом маси.

• При русі хвилі звільнення, якщо напівперіод не досягає наступної опори, хвиля перетинає нейтральну лінію і рухається в тому ж напрямку з протилежним знаком.

• У разі досягнення опори, незалежно чи досягла напівперіоду хвиля, вона відбивається від опори і рухається в зустрічному напрямку з протилежним знаком.

• Якщо хвиля не завершила напівперіод, залишок його енрґії продовжується у зворотному напрямку з протилежним знаком та довжиною, що дорівнює залишку. Далі хвиля рухається довжиною, що дорівнює початковій умові утворення хвилі.

Таким чином виникають моди коливань, які завжди торкаються опор. Вони удвічі коротші тому, що згорнуті та являють дзеркальне відображення.

• Поздовжно-поперечний рух хвилі починається від більшої сили у напрямку меншої. Це поздовжно-поперечні, згинно-крутильні хвилі звільнення, що біжать (Закон Збереження Енергій);

5.5. Виникнення коливального процесу.

• У місці деформації, де була сила Р, утворюються дві поперечні хвилі, що стоять – АР і РВ. Два компоненти 1/4 хвилі в точці деформації мають швидкість відповідно кутам і довжинам сторін трикутника.

Дві опори, як найжорсткіші місця, женуть поздовжно-поперечну хвилю звільнення до менш пружної середини струни. Тут вони, спільно з двома компонентами поперечних стоячих хвиль, що виникли в місці деформації F, утворюють дві головні зустрічні хвилі;

• Коротша хвиля формує свою довжину швидше. Це видно на фотографії формування хвиль – моди утворюються під кутом до опори;

• Алґебраїчна сума нелінійних поперечних швидкостей пружних компонентів і інерційних, змінно-прискорених рухів компоненти маси, обумовлюють пружну лінію струни, що є парабола.

A B     

фотоґрафія формування хвиль коливання струни.

  Фотоґрафія є відбиток процесу, що відбувається за певний час. Повторення руху і частота його залежить від місця, де він багато разів дотримувався своїй траєкторії. Низькочастотні рухи – довгі моди, крізь них видно фон зображення. Коротші моди частіше заштриховані і містяться вони біля опор.

• Наявність двох протилежних параметрів в струні, маси та пружність, зумовлює можливість виникнення коливального процесу.

• Невагома нескінченна струна (БКФ – Берклеевский Курс Физики, Волны, том III.) коливатися не буде, її рух зупиниться на нейтральній осі.

• Найпростіша форма пружної лінії струни при збудженні у 1/2 довжини струни нелінійна функція парабола (перша мода – головне коливання);

• форма усіх інших мод коливань струни відповідні першій. Різниця лише в довжині і амплітудах.

* * *

6. Виникнення мод коливання.

Моди коливань формуються прямим та зворотним рухом відлуння напівхвилі або її частини. Вони мають відповідну довжину і повернуті за фазою дзеркально. Усі моди є згорнутим, симетричним формуванням щодо нейтральної осі.

6.1. Рух пружної поздовжно-поперечної хвилі, що біжить, формується першою 1/4 хвилею від опори до точки збудження, що не відповідає існуючій теорії виникнення хвилі, і є умовою довжини двох зустрічних синхронних хвиль.

На Рис. 2а та в. – показаний рух хвиль від обох опор (Рис. 2а. – від опори А та Рис. 2в. – від опори В). Початок і кінець періодів руху вказані червоними стрілками. Фази, по частинах розподілу струни, пронумеровані в напрямку руху хвилі. Точка збудження Р – у 1/3 довжини струни. Траєкторії руху хвиль від обох опор показані на горизонталях 1, 2. На горизонталі 3 – рух обох хвиль у повних періодах.

6.2. Рух хвилі від коротшої частини розподілу струни точкою збудження.

Якщо довжина напівперіоду хвилі, що починається від опори В (Рис. 2в.), Менш коротка довжини струни, вона перетинає осьову лінію (2-3) і формує першу частину першої моди у два відрізки головної хвилі. Продовжує свій рух у спрямування опори А та формує першу частину другої моди у один відрізок. Не досягнувши довжини напівперіоду, залишком витраченої кінетичної енерґії, вона відбивається від опори А, та формує другу частину другої моди в один відрізок у зворотному напрямку на перетині частин (4-5). Далі вона завершує повний період до точки, з якої почала свій рух. Повний період руху хвилі від опори В склав 6 частин. Головний період хвилі від опори В становить 1,5 повного періоду від опори В. Хвиля формується довжиною та точкою розподілу струни на частини.

_- --- ----- Рис. 3а. ___________________________---_ ----Рис. 3в. _____________________ ------Рис. 3с.

-------

6.3. Рух хвилі від довшої частини розподілу струни точкою збудження.

• Якщо довжина напівперіоду хвилі, що починається від опори А (Рис. 2.а.) більше довжини струни, вона не досягає довжини свого напівперіоду та відбивається від протилежної опори на довжині 3/4 напівхвилі. Остання 1/4 напівхвилі, за зворотним знаком і напрямком, досягає своєї довжини у зворотному русі хвилі на точці збудження. Повний період хвилі, що більше довжини струни – унтертон, що існував в теорії музики ще до середини ХХ століття . Зараз про нього забули, залишився лише обертон.

Друга напівхвиля у 4 частини розподілу, розбилась на дві частини. Однією частиною прийшла до опори А, але у протилежному напрямку. Відбилась від опори А та залишками кінетичної енерґії, що дорівнює першій половині і сформувала другу моду у дві частини. Від точки перетину шляху 8-9, на 1/3 надбання потенційної (або 1/3 втрати кінетичної) енерґії, формує моду у 1 частину. Від опори В прямує до опори А, формує моду основного коливання струни і прагне почати рух за тим же шляхом, з тією ж фазою і напрямком.

• У меншій частині розподілу за шлях хвилі в дві довжини струни виникли 1,5 головного періоду, що склали по одній моді в 2 і 1 частини. Це 2 періоди по 6 частин, всього 12 частин.

• У більшій частині розподілу за шлях хвилі у дві довжини струни виникли 0,5 головного періоду, що склали по 0,5 мод у 3, 2 і 1 частини. При тому одна "тіньова" у 4 частини – унтертон, або унтермода. Це 2 напівперіоди по 6 частин, усього 12 частин.